Cours topographie Mesures des Distances a la Instruments et Méthodes de mesure topométrie
Topométrie
Mesure des distances
1. Un peu d'histoire
Jusqu’au XVIIIème siècle l’unité de longueur était le pied et la toise ; le pied valait environ 0,31 m et la toise mesurait 6 pieds (1,9 m).
A la fin du XVIIIème siècle, suite aux observations géodésiques, l’académie des sciences proposait un étalon qui ait une réalité physique et soit basé sur la largeur de la circonférence terrestre : le mètre est alors défini comme l’équivalent de la dix millionième partie du quart du méridien terrestre. Les travaux de mesure de l’arc de méridien DUNKERQUE - BARCELONE donnent au mètre la valeur de 0,513074 toise, et l’étalon est matérialisé par la règle en platine du pavillon de Breteuil à Sèvres.
En 1875 le système métrique est adopté par 17 pays.
En 1960, la conférence des poids et mesures propose pour mètre une définition basée sur la longueur d’onde de radiations d’atomes du KRYPTON 86.
Actuellement la définition du mètre est basée sur la vitesse de la lumière dans le vide (CØ = 299 792 458 m/s)
En pratique au niveau des laboratoires (CERN - Ministère de l’industrie Bureau des poids et mesures) l’étalon est fourni par un interféromètre à laser basé sur le principe des franges d’interférence de Young de précision inférieure à 10 m (0,01 mm).
2. Objectifs
Les appareils de mesures de distances permettent d’obtenir la distance selon la pente (distance spatiale) entre l’instrument et le point de mesure (réflecteur, prisme…).
L’utilisateur souhaite généralement travailler dans un système utilisant une représentation plane de la Terre, image d’un ellipsoïde de référence, il faut donc déduire des mesures effectuées la distance réduite à la projection utilisée.
Le passage d’une distance spatiale à une distance réduite en représentation se décompose généralement comme suit :
₪ Mesures
➪ Distance spatiale (Dp)
➪ Angle Zénithale (Z)
➪ Ou dénivelée (D H)
₪ Calcul de la distance horizontale
➪ Correction de courbure terrestre
➪ Correction de réfraction
₪ Calcul de la distance sur l'ellipsoïde
➪ Correction d'altitude
₪ Calcul de la distance en représentation
➪ Correction d’altération linéaire
Exemple
Notations :
₪ Dp : distance spatiale (celle mesurée par un EDM.)
₪ De : distance réduite à l'ellipsoïde.
₪ Dc : distance selon la corde.
₪ Dh : distance « horizontale ».
₪ ha, hb : hauteur de A et B au dessus de l’ellipsoïde de référence.
₪ R : rayon de courbure de l’ellipsoïde de référence dans la direction AB (rayon du cercle ausculateur)
3. Relations entre types de distances
3.1. Relation rigoureuse Dp-Dc
Si a est l'angle entre les vecteurs OA et OB, on a (Al Kashi) :
En appliquant le même raisonnement au triangle (A0,O,B0) , on obtient une relation entre Dc et Dp:
On ne connaît en général que HA et HE altitudes orthométriques déterminées par rapport au Géoïde. La différence N = h - H n'excède pas en France quelques mètres et son influence est négligeable en topométrie courante.
Il y aurait lieu d’y songer lorsque l’on utilise d’autres systèmes (RGF 93 par exemple) où N peut atteindre 50 m ou si l’on mesure de grandes distances.
Choix du rayon de courbure R:
Suivant la précision requise en France on prendra R = 6.372 km. Si l’on Connaît j (même approchée), on utilisera des rayons de courbures issues de l’étude de la géométrie de l’ellipsoïde
₪ 
₪ 
₪ Ou encore la valeur de R calculée en fonction de l'azimut (Formule d'Euler)
3.2. Relation De-Dc
ou en effectuant le développement 
limité de (a est un petit angle)
limité de (a est un petit angle)
3.3. Relation De-Dh
En appliquant le théorème de Thalès on trouve
Ce qui implique que la distance horizontale entre A et B dépend de l'altitude
Considérée. En topométrie la distance couramment utilisée est la distance
Horizontale moyenne
Ceci impose de connaître l'altitude moyenne pour calculer une distance horizontale.
Dans les logiciels de réductions de distance et donc de calculs de coordonnées utilisés par la plupart des tachéomètres, on trouve une formule qui est la suivante :
(Le coefficient k est le rapport entre la courbure terrestre et la courbure des rayons lumineux) En réalité cette valeur de DH correspond à la distance horizontale correspondant au point A.
Cette formule fait intervenir la distance zénithale Z observée au moment de la mesure et tient compte d'une correction dite niveau apparent qui correspond à la courbure du rayon lumineux et de la sphéricité de la terre.
3.4. Relation De-D projection
Rappel
Toutes les représentations planes de l'ellipsoïde altèrent les distances ellipsoïdales dans un rapport dénommé module linéaire.
Cette altération dépend :
₪ Du lieu (a ,j )
₪ Des formules et caractéristiques de la projection
Exemple
En France la projection conique conforme de Lambert de l'ellipsoïde Clarke 1880 IGN admet pour module linéaire la quantité
